斜辺のパラドックスは（シャーヘンノパラドックスは） [単語記事] – ニコニコ大百科

斜辺のパラドックスは、三角形の辺の長さのために医師パラドックスである。

古くからある幾何学の典型的な逆説であるが、特に決まった名前はないようだ。 傾斜や階段の謎ということもあるが、ここでは、斜辺のパラドックスと呼ぶことにする。

要約

三角形不等式

数学の非常に基本的な原理で、三角不等式というものがある。 主張は、以下の通りである。

a、b、cが三角形の辺の長さであるとき、a + b≧c

等号が成立三角形が崩れ3点を合わせるときである（a、b、cをよく取る必要がある）。 これは、任意の三角形のすべての側面について行われる基本的な不平等であり、具体的な形態だけでなく、抽象的な図形や一般のベクトル空間で行われる重要な式である。 これ成り立たないと話が進まないほど重要で基本的な不平等なので分野を問わず、多くの数学の教科書で初めて書かれているか、行われることを前提に議論が展開される。

パラドックスの主張

斜辺のパラドックスが式を正面から否定するパラドックスである。 斜辺のパラドックスは、次のような内容を主張する。

a、b、cが三角形の辺の長さであるとき、a + b = c

直角三角形の証明（？）が有名である。 点の取り方は、三角形の角度に関係なく、同じように取ることができる。

点X =（1,0）、Y =（0,1）、O =（0,0）と、直角三角形△XYOている。 この時、XY =√2、OX + OY = 1 + 1 = 2。

斜辺の新しい点Z₁=（1 / 2,1 / 2）を置いて、残りの近くにX₁=（1 / 2,0）、Y₁=（0,1 / 2）を置く。
すると二直角三角形△XX₁と₁、△Z₁と₁Yがある。 この時、XZ₁+ Z₁Y =√2/ 2 +√2/ 2 =√2、XX₁+ X₁と₁+ Z₁と₁+そして₁Y = 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 = 2。

そんな出来事に新しい点Z₂=（1 / 4.3 / 4）、Z_三=（3 / 4,1 / 4）を置いて△XX₁と₁、△Z₁と₁Yの残りの隅にX₂=（1 / 4,1 / 2）、X_三=（3 / 4,0）、Y2=（1 / 2,1 / 4）、Y三=（0,3 / 4）を置く。 その後、4つの三角形△XX_三と_三、△Z_三と_三と₁、△Z₁Xの₂と₂、△Z₂と₂Yがある。 このとき、斜辺の合計= 4×√2/ 4 =√2残り辺の和= 8×1/4 = 2。

そのようにし、新しい点Z_円とそれに対応する点X_円、と_円を追加していくと、X_円、と_円点ますます出来事に近づいていく。 Nは限りなく大きく、Z_円この出来事をまんべんなく埋めていったときX_円、と_円点の集まりが出来事に限りなく近づいて行き、点の集合でZ_円とZ_円、と_円の区別ができなくなる。

したがって、点の集合で一致するため、極限の斜辺の長さの合計=残りの辺の長さの合計となる。

一方、どのように分割を細かくしても斜辺の長さの合計= n×√2/ n =√2残り辺の長さの合計= 2n×1 / n = 2である。 これは√2= 2話を表しているのだろう？

様々な仮説

このような矛盾が出てくる仮説をいくつか挙げる。

• 説1点の集合では、曲線に近づくその点を結ぶ線は、拡大するとギザギザしているため、実は曲線に近づかない。
• 設定2.線連れ操作と線の長さの合計を持って作業を極限に交換していない。
• 設定3.各点の距離位相との2点間を打つ曲線の長さの位相関係位相とる方法は無数に多いから。
• 設定4.拡大すると、すなわち、フラクタルだから。 フラクタル曲線の長さは、慎重に決定しなければならない。
• 説5.バリを持っていないので、（技術屋）。
• 設定6.アンチエイリアシングをしていないので、（情報）。

誠実なものもそうでないようなものも「階段をどのように処理するか」ということを問題にしているという点で、同じかもしれない。

解説

これは、X、Yの2点間を打つ曲線の「長さ」を測定する測定方法が異なるために起こる医師パラドックスである。

線の長さは、その線が属する空間に付随する距離関数d（X、Y）で定義される。 距離関数の定義は、「距離」の記事を参照してください。 図形的な「長さ」「距離」を連想することができない抽象的な長（連続関数fとgの距離と直線の地図TとSの距離など）につきましては規範と呼ぶ。 規範は、一定の条件を満たせばされるので、直感的とかけ離れたものも距離になることがあります。

XYの距離を測定するときは、一般的にユークリッド距離を採用するために、d（X、Y）=√（（1-0）²+（0-1）²）=√2になる。 しかし、他の距離関数を採用することができる。 マンハッタン距離を採用すると、d（X、Y）= | 1-0 | + | 0-1 | = 2となる。 当然、他の距離関数として測定すると、別の値になる。

• 曲線の「類似性（位相）」

2点間を打つた曲線Aと他の曲線Bは、どのくらいのようですか？ ということは数学的に厳密に定義する場合、すなわち、曲線の「類似性（位相）」を決定した場合、曲線の集合LでミスRに史上F：L→Rを考える必要がある。 つまり、1つの曲線に1つのミスを割り当てて、その間違いがあれば曲線に同じ考えだ。 曲線に直接ミスを割り当てることは難しいので、主題のように曲線に近づく線列極限として定義する。

つまり、曲線Aを近似直線の思想の列F（A_私）の極限と曲線Bを近似線B_私の思想の列F（B_私）が一致する場合に、AとBは同じ曲線と定義するものであるが、F、服用はオプションであり、Fが位相的に簡単に破産するとしなければなら何でも良いです。 つまり線を定義する点列の両方が曲線に近づくこと（点列位相）とは異なり、線が曲線に近づくこと（曲線の位相）を個別に定義することができます。

点Zと曲線の位相は、点と曲線の最短距離rで定義することができる。 複数点列Z_円いくつかの曲線の位相は “そのようなrの最大のr_最大“に決定するか、「そのようなrの最小のものr_分“に決定するか、「そのようなrの算術平均r_ave“に決定している。もちろん、より別の定義を行うことができる。位相の力（類似性の難しさに強いだけ似ている判定が難しい）は、r_最大> r_ave> r_分となる。

同様に曲線と曲線の位相を定義することができる。 「近似線を作成する点列Z_円のr_最大位相曲線の位相決めたF₁「してもよく、「近似線形の各点との間の最短距離Z_私と_ジェイをマンハッタン距離で測定論争を取ったF₂」と決めてもいいし、「近似線形の各点との間の最短距離Z_私と_ジェイユークリッド距離で測定論争を取ったF_三「してもよい。F₁はライン点曲線に近づくだけでされている（曲線の「長さ」に無関心）、F₂比較的ギャバ判定距離関数で測定することの総和、F、_三標準の難しで測定した距離の合計である。 したがって、この場合F_三> F₂> F₁となる。

つまり、曲線の似たような状態（位相）をどのように決定するかによって、人間の目でそっくり曲線も事実違ったり、厳密に等しいか、またはすることができるだろう。 曲線の位相の服用によって長さが全く違っても、同じ判定することも、長さが異なるため、他の判定を行うことができる。

斜辺XYに点Z_円を打って行って、それぞれの線Z_私と_ジェイユークリッド距離関数で距離を出してから和をとったものがユークリッド距離空間で斜辺XY長√2であり、それぞれの線Z_私と_ジェイをマンハッタン距離の関数として測定したもの（すなわち、d（Z_私、と_ジェイ）= | Z_私Xの_ケイ| + | X_ケイと_ジェイ|）の合計が、マンハッタン距離空間で斜辺XY長さ2である。

曲線の位相は自由に取ることができ、位相を長さに決定した場合にもいくつかの距離の関数を選択するかによって変化する。 同様の出来事に点Z_円を打って近似して行っても、各ラインをユークリッド距離から求めた長さとマンハッタン距離で求めた長さは異なっている。 直角を挟む記者の記事折れ線で近似して求めた長さは、定義からマンハッタン距離に応じた長さと一致する。

つまり、実は “他の曲線の位相（距離関数）で斜辺の長さを必要としたため、他の長さになった」とだけなのに “他の位相を使用することを明示していないので、まるで矛盾が発生しているようだ」だけである。 したがって同様の議論が必要だが、今回は「フラクタルだ」という観点は関係がない。

ちなみに、最初に式a + b = cはマンハッタン距離空間では、つぶれていない三角形で行われる。 例えば、図のように、X =（x、0）、Y =（0、y）O =（0,0）となる直角三角形など。

関連力説

三角形を円形に別のバージョンがあります。 斜辺の代わり号を使えば、「π= 4」を示すことができるというパラドックスである。これも円弧の長さをユークリッド距離関数で測定するとπ/ 2、マンハッタン距離の関数として測定すると、2になるだけであるが、同様に “他の距離関数で円弧の長さを求めたため、他の長さになった」ということを明示していないために起こるパラドックスである。

注意事項

よくある解説で「無限小も拡大するとギザギザしているので、違う」というものがありますが、近代以降の数学は、そのような「拡大と異なっている」と述べたことを「階段でも、厳格な条件の下でどの程度だと言うことができる場合のようなものとする「方法がとら（ε-δ論法が代表）。 曲線の長さもギザギザした線を細かくいくこと、限りなく曲線に近づくとき、線全体の長さの極限を曲線の長さにすることを決めた。 線は距離関数に関係なく点熱r_最大位相によって限りなく「ソフト」に近づくことができますが、曲線の長さは、そのときに使用フェーズ、さらには距離の関数として変化していくので、曲線と線がほぼ同じラインに近づいていくの長さだけ違う値になることもある。 「拡大するとギザギザしているので、違う」という説明は、何についてどのような位相を使用しているかどうかを明示する必要がある。

また、「距離を持って仕事と線極限を持って作業を交換していないからだ」と説明しても、正確であるとは言えない。 ε-δ論法に準拠する距離関数を固定して、どのよう極限を非常に同じ長さになることができ、曲線の長さの定義されるので、距離を持って仕事と極限を持って作業を交換することになる。 位相をよくとると交換してい例を作成することができると考えられるからである。 もちろん極限の性質として一般に極限を持って仕事と他の演算は、交換することはできないので、極限の交換については、常に注意しなければならない。

関連動画

関連項目

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https://dic.nicovideo.jp/t/a/%E6%96%9C%E8%BE%BA%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89 ％E3％83％83％E3％82％AF％E3％82％B9